已知 $P=\left\{\left(x,y\right)\mid |x|+2|y|\leqslant 2\right\}$，$Q=\{(2x+y,x-2y)\mid(x,y)\in P\}$，则 $Q$ 表示的区域面积为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} Q&=\left\{(2x+y,x-2y)\mid |x|+2|y|\leqslant 2\right\}\\
&=\left\{(x,y)\mid \left|\dfrac{2x+y}5\right|+2\left|\dfrac{x-2y}5\right|\leqslant 2\right\}\\
&=\left\{(x,y)\mid |2x+y|+|2x-4y|\leqslant 10\right\},\end{split}\]因此 $Q$ 表示关于原点对称的平行四边形 $ABCD$ 及其内部，其中相邻两边的斜率分别为 $0$，$\dfrac 43$，图形的横截距为 $\pm \dfrac 52$，纵截距为 $\pm 2$，因此其面积为 $20$．
&=\left\{(x,y)\mid \left|\dfrac{2x+y}5\right|+2\left|\dfrac{x-2y}5\right|\leqslant 2\right\}\\
&=\left\{(x,y)\mid |2x+y|+|2x-4y|\leqslant 10\right\},\end{split}\]因此 $Q$ 表示关于原点对称的平行四边形 $ABCD$ 及其内部，其中相邻两边的斜率分别为 $0$，$\dfrac 43$，图形的横截距为 $\pm \dfrac 52$，纵截距为 $\pm 2$，因此其面积为 $20$．
题目
答案
解析
备注
