设题中代数式为 $M$，不妨设 $a\leqslant c$
情形一 $a\leqslant b\leqslant c$，则\[\begin{split} M&=\sqrt{b-a}+\sqrt{c-b}+\sqrt{2(c-a)}\\
&\leqslant \sqrt{2}\cdot \sqrt{(b-a)+(c-b)}+\sqrt{2(c-a)}\\
&=2\sqrt 2\cdot \sqrt{c-a}\\
&\leqslant 8,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=(-4,0,4)$ 时取得．
情形二 $a\leqslant c<b$ 或 $b<a\leqslant c$．根据对称性，不妨设 $a\leqslant c<b$，则\[\begin{split} M&=\sqrt{b-a}+\sqrt{b-c}+\sqrt{2(c-a)}\\
&\leqslant \sqrt{b-a}+\sqrt 3\cdot \sqrt{(b-c)+(c-a)}\\
&=\left(1+\sqrt 3\right)\cdot \sqrt{b-a}\\
&\leqslant \left(1+\sqrt 3\right)\cdot 2\sqrt 2,\end{split}\]综上所述，所求代数式的最大值为 $8$．