若 $\alpha,\beta.\gamma$ 为锐角，且 $\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=1$，则 $\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin\beta}$ 的最小值 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据柯西不等式，有\[\begin{split} \sum_{cyc}\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin\beta}&\geqslant \dfrac{\left(\sum_{cyc}\sin^2\alpha\right)^2}{\sum_{cyc}(\sin\alpha\sin\beta)}\\
&=\dfrac{\sum_{cyc}\sin^2\alpha}{\sum_{cyc}(\sin\alpha\sin\beta)} \\
&\geqslant 1,\end{split}\]等号当 $\sin\alpha=\sin\beta=\sin\gamma=\dfrac{\sqrt3}{3}$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $1$．
&=\dfrac{\sum_{cyc}\sin^2\alpha}{\sum_{cyc}(\sin\alpha\sin\beta)} \\
&\geqslant 1,\end{split}\]等号当 $\sin\alpha=\sin\beta=\sin\gamma=\dfrac{\sqrt3}{3}$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
