已知两条直线 $l_1:y=m$ 和 $l_2:y=\dfrac8{2m+1}$，其中 $m>0$，$l_1$ 与函数 $y=\left|{\log_2}x\right|$ 的图像从左至右相交于 $A,B$，$l_2$ 与函数 $y=\left|{\log_2}x\right|$ 的图像从左至右相交于 $C,D$，记线段 $AC$ 与 $BD$ 在 $x$ 轴上的投影长度分别为 $a,b$，当 $m$ 变化时，$\dfrac ba$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8\sqrt2$
【解析】
分别记 $A,B,C,D$ 的横坐标是 $x_i,i=1,2,3,4$，则有$$m=-{\log}_2x_1={\log}_2x_2,$$于是$$(x_1,x_2)=\left(2^{-m},2^m\right),$$同理可得$$(x_3,x_4)=\left(2^{-\frac{8}{2m+1}},2^{\frac{8}{2m+1}}\right).$$进而$$\begin{cases} a=\left|x_3-x_1\right|=\left|2^{-\frac{8}{2m+1}}-2^{-m}\right|,\\ b=\left|x_4-x_2\right|=\left|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}\right|.\end{cases}$$则$$\dfrac ba=2^{m+\frac{8}{2m+1}}=2^{m+\frac12+\frac{8}{2m+1}-\frac12}\geqslant 8\sqrt2.$$当且仅当 $m=\dfrac32$ 时 $\dfrac ba$ 取得最小值 $8\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
