题目 已知正数 $x,y$ 满足 $x+y=1$，则 $z=\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)$ 的最小值为<nn> </nn>． 答案 $\dfrac{25}4$ 解析 根据题意，有\[\begin{split} z&=\left(\dfrac yx+\dfrac xy\right)+\left(xy+\dfrac{1}{xy}\right)\\<br/>&\geqslant 2+\dfrac{17}4\\<br/>&=\dfrac{25}4,\end{split}\]等号当 $x=y=\dfrac 12$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac{25}4$． 备注 根据题设有 $xy=x(1-x)$ 的取值范围为 $(0,\dfrac14]$，则$$\begin{split} z&=\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{xy}\\<br/>&=xy+\dfrac{1+x^2+y^2}{xy}\\<br/>&=xy+\dfrac{2-2xy}{xy}\\<br/>&=xy+\dfrac2{xy}-2\\<br/>&\geqslant \left(xy+\dfrac2{xy}-2\right)\bigg|_{xy=\frac14}\\<br/>&=\dfrac{25}{4}<br/>\end{split}.$$当且仅当 $x=y=\dfrac12$ 时 $z=\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)$ 取得最小值 $\dfrac{25}{4}$．