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对任意 $x\in(0,+\infty)$，若不等式 $(\ln x-ax)\cdot\left(\dfrac1x+a\right)\leqslant0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解函数不等式
【答案】
$\{-\mathrm{e}\}\cup\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
【解析】
情形一 当 $a\geqslant 0$ 时，不等式即$$a\geqslant\dfrac{\ln x}{x},$$函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 的最大值为 $f(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，因此，$a\geqslant\dfrac{1}{\mathrm{e}}$；
情形二 当 $a<0$ 时，函数 $g(x)=\ln x-ax$ 单调递增，$h(x)=\dfrac1x+a$ 单调递减，且\[h\left(-\dfrac1a\right)=0,\]则只需$$g\left(-\dfrac1a\right)=0,$$解得 $a=-\mathrm{e}$；
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\{-\mathrm{e}\}\cup\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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