由于$$f(x)+g(x)=2,$$因此 $f(x)$ 的图象与 $g(x)$ 的图象关于 $y=1$ 对称，故原题等价于求使得 $f(x)=1$ 有 $3$ 个零点时 $a$ 的取值范围．以下分类讨论：
情形一 $f(x)=1$ 在 $x\leqslant 1$ 时有两解，且在 $ x>1$ 时有一解．即关于 $x$ 的方程$$a=1+|1+x|,x\leqslant 1,$$有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(1,3]$．同时关于 $x$ 的方程$$(x-a)^2=1,x>1,$$有一解，则 $a$ 的取值范围为 $[0,2]$．因此该种情形下 $a$ 的取值范围为 $(1,2]$．
情形二 $f(x)=1$ 在 $x\leqslant 1$ 时有一解，且在 $ x>1$ 时有两解．即关于 $x$ 的方程$$a=1+|1+x|,x\leqslant 1,$$有一解，则 $a$ 的取值范围为 $\{1\}\cup(3,+\infty)$．同时关于 $x$ 的方程$$(x-a)^2=1,x>1,$$有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(2,+\infty)$．因此该种情形下 $a$ 的取值范围为 $(3,+\infty)$．
综上可得 $a$ 的取值范围为 $(1,2]\cup(3,+\infty)$．