根据题意设$$f(x)=\begin{cases} f_1(x),&x>1,\\f_2(x),&x\leqslant 1,\end{cases}$$函数 $y=f_1(x),x>1$ 的导函数为$$f'_1(x)=\dfrac1x-\dfrac1{x^2},x>1,$$在 $x>1$ 时，$f'(x)>0$ 恒成立，因此 $f_1(x)$ 单调递增，且其值域为 $(1,+\infty)$，又由于$$f_2(x)=2x^2-mx+\dfrac m2+\dfrac 58,x\leqslant 1,$$因此若 $g(x)=f(x)-m$ 有三个零点，则必为 $f_1(x)=m$ 有一解且 $f_2(x)=m$ 有两解，于是可得 $m$ 的范围为$$\left(m>1\right)\wedge\begin{cases} m^2+4m-5>0,\\\dfrac m4<1,\\2-m-\dfrac m2+\dfrac58\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $m$ 的取值范围为 $\left(1,\dfrac74\right]$．