若函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+m$ 在区间 $[a,b]$ 上的值域为 $\left[\dfrac a2,\dfrac b2\right],b>a>1$，求实数 $m$ 的取值范围 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac12\right]$
【解析】
由于 $f(x)$ 在定义域内单调递增，因此为使函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的值域为 $\left[\dfrac a2,\dfrac b2\right]$，则需关于 $x$ 的方程$$\sqrt{x-1}+m=\dfrac x2,x\geqslant 1,$$有两解，即函数$$y=\sqrt{x-1},x\geqslant 1,$$的图象与$$y=\dfrac x2-m, $$的图象有两个交点，结合图像易得符合题设的 $m$ 的取值范围为 $\left(0,\dfrac12\right]$．
题目
答案
解析
备注
