设 $x,y,z$ 为正数，且 $2^x=3^y=5^z$，则 $2x,3y,5z$ 的大小关系是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3y<2x<5z$
【解析】
根据题意，有\[2^{{\frac 12}\cdot 2x}=3^{{\frac 13}\cdot 3x}=5^{\frac 15\cdot 5z},\]因此只需要比较 $2^{\frac 12},3^{\frac 13},5^{\frac 15}$ 的大小，而\[2^3<3^2\Rightarrow 2^{\frac 12}<3^{\frac 12},\]且\[2^5>5^2\Rightarrow 2^{\frac 12}>5^{\frac 15},\]因此\[5^{\frac 15}<2^{\frac 12}<3^{\frac 13},\]从而\[3y<2x<5z.\]
题目
答案
解析
备注
