在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$，$C$ 为圆心，$P$ 为圆上任意一点，则 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【解析】
设点 $P\left(2\cos \theta +1,2\sin \theta +1\right)$，$\theta\in [0,2\pi)$，则\[\begin{split}&\overrightarrow{OP}=\left(2\cos \theta +1,2\sin \theta +1\right),\\&\overrightarrow{CP}=\left(2\cos \theta ,2\sin \theta\right),\end{split}\]所以\[ \begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}&=4\cos^2\theta +2\cos \theta +4\sin^2\theta +2\sin \theta \\&=4+2\sqrt{2}\cos\left(\theta -\dfrac{{\mathrm {\mathrm \pi} }}{4 }\right), \end{split}\]所以当 $\theta =\dfrac{\pi}4$ 时，$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 取最大值，最大值为 $4+2\sqrt{2}$．
题目
答案
解析
备注
