在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$，$C$ 为圆心，$P$ 为圆上任意一点，则 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4+2\sqrt{2}$
【解析】
设点 $P\left(x,y\right)$，则\[\begin{split}\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}&=\left(x,y\right)\cdot \left(x-1,y-1\right)\\&=x^2-x+y^2-y\\&=\left(x-\dfrac{1}{2 }\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2 }\right)^2-\dfrac{1}{2 }\\
&\leqslant (CA+2)^2-\dfrac 12\\
&=\left(\dfrac{\sqrt 2}2+2\right)^2-\dfrac 12\\
&=4+2\sqrt 2,\end{split}\]故 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最大值为 $4+2\sqrt{2}$．
&\leqslant (CA+2)^2-\dfrac 12\\
&=\left(\dfrac{\sqrt 2}2+2\right)^2-\dfrac 12\\
&=4+2\sqrt 2,\end{split}\]故 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最大值为 $4+2\sqrt{2}$．
题目
答案
解析
备注
