已知函数 $f(x)=\begin{cases}a-|x+1|,&x\leqslant 1,\\ (x-a)^2,&x>1,\end{cases}$ 函数 $g(x)=2-f(x)$，若函数 $y=f(x)-g(x)$ 恰有 $4$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(2,3]$
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y=1$ 有 $4$ 个公共点，因此其单调性至少变化 $3$ 次，进而可得 $a>1$．此时\[\begin{array} {c|cccccccc}\hline
x&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&0^+&(0,a)&a&(a,+\infty)\\ \hline
f(x)&\nearrow&a&\searrow&a-1&(1-a)^2&\searrow&0&\nearrow \\ \hline\end{array}\]因此有\[\begin{cases} a>1,\\ a-2\leqslant 1<a,\\ (1-a)^2>1,\end{cases}\]解得 $a$ 的取值范围是 $(2,3]$．
x&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&0^+&(0,a)&a&(a,+\infty)\\ \hline
f(x)&\nearrow&a&\searrow&a-1&(1-a)^2&\searrow&0&\nearrow \\ \hline\end{array}\]因此有\[\begin{cases} a>1,\\ a-2\leqslant 1<a,\\ (1-a)^2>1,\end{cases}\]解得 $a$ 的取值范围是 $(2,3]$．
题目
答案
解析
备注
