求方程 $x^3+2\sqrt{10}x^2+10x+\sqrt{10}+1=0$ 的解集 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{-1-\sqrt{10},\dfrac12(1-\sqrt{10}+\sqrt5-\sqrt2),\dfrac12(1-\sqrt{10}-\sqrt5+\sqrt2)\right\}$
【解析】
显然 $x\neq 0$，将 $x$ 看成方程的系数，$y=\sqrt{10}$ 是方程$$x^3+2yx^2+y^2x+y+1=0$$的一个解，方程转化为$$y^2x+(2x^2+1)y+(x^3+1)=0,$$所以可得 $y=-1-x$ 或 $y=\dfrac{-x^2+x-1}{x},x\neq 0$，解得$$(x_1,x_2,x_3)=\left(-1-\sqrt{10},\dfrac12(1-\sqrt{10}+\sqrt5-\sqrt2),\dfrac12(1-\sqrt{10}-\sqrt5+\sqrt2)\right).$$因此所求解集为 $\left\{-1-\sqrt{10},\dfrac12(1-\sqrt{10}+\sqrt5-\sqrt2),\dfrac12(1-\sqrt{10}-\sqrt5+\sqrt2)\right\}$．
题目
答案
解析
备注
