因为方程$$|x|=|x+1|=|x-2|$$无解，故 $n\geqslant 2$ 且数列 $\{a_n\}$ 公差不为 $0$．不妨设数列的各项为$$a_k=a-kd,1\leqslant k\leqslant n,d>0.$$作辅助函数$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n|x-kd|,$$则本题条件等价于 $f(x)=507$ 至少有三个不同的根 $a,a+1,a-2$，此条件又等价于函数 $y=f(x)$ 的图象与水平直线 $L:y=507$ 至少有三个不同的公共点．由于 $y=f(x)$ 的图象是关于直线 $x=\dfrac{(n+1)d}2$ 左右对称的 $n+1$ 段的下凸折线，它与水平直线 $L$ 有三个公共点当且仅当折现有一水平段在 $L$ 上，当且仅当$$\begin{cases} n=2m,\\ a,a+1,a-2\in[md,(m+1)d],\\f(md)=507.\end{cases}$$即有 $d\geqslant 3$ 且 $m^2d=507$，由此得 $m^2\leqslant\dfrac{507}{3}$，进而 $m\leqslant 13$，因此当 $(m,d,a)=(13,3,4)$ 时，$n$ 取得最大值 $26$．