已知函数 $f(x)=x^2+ax+\dfrac1{x^2}+\dfrac{a}{x}+b$ 存在零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac45$
【解析】
根据题意，有\[\exists x\in\mathbb R,\left(x+\dfrac 1x\right)a+b+\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=0,\]视其为 $aOb$ 平面的直线，则 $a^2+b^2$ 表示原点到该直线上的点的距离 $d$ 的平方，其最小值为\[\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2}{\left(x+\dfrac 1x\right)^2+1}=\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2}{x^2+\dfrac{1}{x^2}+3},\]其最小值为 $\dfrac 45$．
题目
答案
解析
备注
