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已知函数 $f(x)=ax^2+bx,a\neq0$ 满足 $-1\leqslant f(-1)\leqslant 2 \leqslant f(1)\leqslant 4$ 且 $ac^2+bc-b=0$，则实数 $c$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为斜率
【答案】
$\left[-\dfrac{3+\sqrt{21}}{2},\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}\right]$
【解析】
显然 $c\neq 1$，否则有 $a+b-b=0$，即 $a=0$，而这与题设相矛盾．于是可对题中已知条件进行适当代数变形即得$$\dfrac ba=\dfrac{c^2}{1-c}.$$又依题意有$$\begin{cases} -1\leqslant a-b\leqslant 2,\\ 2\leqslant a+b\leqslant 4.\end{cases}$$结合线性规划知识，容易求得 $\dfrac ba$ 的取值范围为 $[0,3]$，因此有$$0\leqslant \dfrac{c^2}{1-c}\leqslant 3,$$解得 $c$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac{3+\sqrt{21}}{2},\dfrac{\sqrt{21}-3}{2}\right]$．
题目 答案 解析 备注
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