对于 $c > 0$，当非零实数 $ a$，$b $ 满足 $4{a^2} - 2ab + {b^2} - c = 0$ 且使 $|2a + b|$ 最大时，$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{4}{c}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
$ - 1$
【解析】
根据题意有$$c=(2a+b)^2-6ab\geqslant(2a+b)^2-\dfrac34(2a+b)^2,$$所以当且仅当 $2a=b$ 时，$|2a+b|$ 取得最大值 $2\sqrt c$．此时$$(a,b,c)=(a,2a,4a^2),$$于是$$\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac4c=\dfrac1{a^2}+\dfrac2a\geqslant -1,$$当且仅当 $(a,b,c)=(-1,-2,4)$ 时等号成立．于是所求表达式最小值为 $-1$．
题目
答案
解析
备注
