若对任意锐角 $\Delta ABC$ 都有 $\sin A+\sin B+\sin C>$ $\cos A+\cos B+\cos C+t$ 成立，则实数 $t$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
由题记$$\begin{split} &M=\sin A+\sin B+\sin C\\
&N=\cos A+\cos B+\cos C\end{split}$$则$$\begin{split}&M=2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2+2\sin\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2
\\&N=2\cos^2\dfrac A2-1+2\cos\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2
&\end{split}$$两式做差可得$$\begin{split} M-N&=2\cos\dfrac A2\left(\sin\dfrac A2-\cos\dfrac A2\right)+2\cos\dfrac{B-C}2\left(\sin\dfrac{B+C}2-\cos\dfrac{B+C}{2}\right)+1\\
&=2\left(\sin\dfrac A2-\cos\dfrac A2\right)\left(\cos\dfrac A2-\cos\dfrac{B-C}2\right)+1,\end{split}$$由于 $A,B,C$ 为锐角三角形的三个内角，因此必有$$\left( 0<\dfrac A2<\dfrac{\pi}4\right)\wedge\left(A+C>B\right),$$于是$$\begin{cases} \sin\dfrac A2-\cos\dfrac A2<0,\\\cos\dfrac A2-\cos\dfrac{B-C}2<0,\end{cases}$$因此 $M-N>1$ 恒成立，且当 $A\to \dfrac{\pi}2$ 时，$(M-N)\to 1$．因此 $t$ 的最大值为 $1$．
&N=\cos A+\cos B+\cos C\end{split}$$则$$\begin{split}&M=2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2+2\sin\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2
\\&N=2\cos^2\dfrac A2-1+2\cos\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2
&\end{split}$$两式做差可得$$\begin{split} M-N&=2\cos\dfrac A2\left(\sin\dfrac A2-\cos\dfrac A2\right)+2\cos\dfrac{B-C}2\left(\sin\dfrac{B+C}2-\cos\dfrac{B+C}{2}\right)+1\\
&=2\left(\sin\dfrac A2-\cos\dfrac A2\right)\left(\cos\dfrac A2-\cos\dfrac{B-C}2\right)+1,\end{split}$$由于 $A,B,C$ 为锐角三角形的三个内角，因此必有$$\left( 0<\dfrac A2<\dfrac{\pi}4\right)\wedge\left(A+C>B\right),$$于是$$\begin{cases} \sin\dfrac A2-\cos\dfrac A2<0,\\\cos\dfrac A2-\cos\dfrac{B-C}2<0,\end{cases}$$因此 $M-N>1$ 恒成立，且当 $A\to \dfrac{\pi}2$ 时，$(M-N)\to 1$．因此 $t$ 的最大值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
