根据题意有$$a+c=2b,$$则$$\sin A+\sin C=2\sin B,$$于是$$2\sin\dfrac{A+C}2\cos\dfrac{A-C}2=4\sin\dfrac{A+C}2\cos\dfrac{A+C}2,$$进而有$$\tan \dfrac A2\tan \dfrac C2=\dfrac13,$$设$$(x,y)=\left(\tan\dfrac A2,\tan\dfrac C2\right),$$则 $xy=\dfrac13,$ 进一步由万能公式代换得所求表达式$$\begin{split} \dfrac{\cos A+\cos C}{1+\cos A\cos C}&=\dfrac{\dfrac{1-x^2}{1+x^2}+\dfrac{1-y^2}{1+y^2}}{1+\dfrac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)}}\\
&=\dfrac 45.\end{split}$$