由 $f(f(n))=3n$，将 $n$ 换为 $f(n)$，有$$f(f(f(n)))=3f(n),$$又将原式两边取函数值有$$f(f(f(n)))=f(3n),$$故$$f(3n)=3f(n).$$若 $f(1)=1,$ 则$$f(f(1))=f(1)\neq 3$$矛盾，故设 $f(1)=a>1$，由于$$f(f(1))=f(a)=3,$$此时$$f(1)<f(a)=3,$$所以 $f(1)=2$ 且 $f(2)=f(f(1))=3$．于是$$\begin{split} &f(3)=3f(1)=6\\&f(6)=3f(2)=9\end{split}$$中间必有$$\begin{split} &f(4)=7\\ &f(5)=8\end{split} $$进而$$\begin{split} &f(9)=3f(3)=18\\ &f(12)=3f(4)=21\\&f(36)=3f(12)=63 \end{split}$$因此$$f(1)+f(9)+f(36)=83.$$