已知实数 $a,b,c>0$ 满足 $abc=1$，且不全为 $1$，有 $a^xb^yc^z=a^yb^zc^x=a^zb^xc^y=1$，则 $x,y,z$ 应满足的关系是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x=y=z$
【解析】
不妨设 $a,b,c$ 中只有 $1$ 个数小于 $1$，否则每个数都取倒数就转化为该情形．记最小数为 $a$，有 $0<a<1$，$b,c\geqslant 1$，此时 $a=b^{-1}c^{-1}$，代入可得\[b^{y-x}c^{z-x}=b^{z-y}c^{x-y}=b^{x-z}c^{y-z}=1,\]由于 $b,c$ 均不小于 $1$ 且不同时取 $1$，于是\[\begin{split} (y-x)(z-x)\leqslant 0,\\ (z-y)(x-y)\leqslant 0,\\ (x-z)(y-z)\leqslant 0,\end{split}\]三式相加得\[x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\leqslant 0,\]因此 $x=y=z$．
题目
答案
解析
备注
