如图，已知圆中两条弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $F$，$E$ 是 $AB$ 延长线上一点，且 $DF = CF = \sqrt 2 $，$AF:FB:BE = 4:2:1$．若 $CE$ 与圆相切，则 $CE$ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2011年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 7 }{2}$
【解析】
设 $AF = 4k$，$BF = 2k$，$BE = k$，由 $DF \cdot FC = AF \cdot BF$，得 $2 = 8{k^2}$，即 $k = \dfrac{1}{2}$，
从而 $AF = 2$，$BF = 1$，$BE = \dfrac{1}{2}$，$AE = \dfrac{7}{2}$，由切割线定理得 $C{E^2} = BE \cdot EA = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{4}$，故 $CE = \dfrac{\sqrt 7 }{2}$．
从而 $AF = 2$，$BF = 1$，$BE = \dfrac{1}{2}$，$AE = \dfrac{7}{2}$，由切割线定理得 $C{E^2} = BE \cdot EA = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{4}$，故 $CE = \dfrac{\sqrt 7 }{2}$．
题目
答案
解析
备注
