设函数 $f(x)=a^x+b^x-c^x$，其中 $a,b,c$ 是某个三角形的三边长，且 $c$ 为最大边边长．有下列命题：其中正确的命题是
① 对任意 $x<1$，均有 $f(x)>0$；
② 存在实数 $x$，使得 $a^x,b^x,c^x$ 不是任何一个三角形的三边长；
③ 若 $a,b,c$ 是某个钝角三角形的三边长，则存在 $x\in (1,2)$，使得 $f(x)=0$．
其中正确的命题是 ．
① 对任意 $x<1$，均有 $f(x)>0$；
② 存在实数 $x$，使得 $a^x,b^x,c^x$ 不是任何一个三角形的三边长；
③ 若 $a,b,c$ 是某个钝角三角形的三边长，则存在 $x\in (1,2)$，使得 $f(x)=0$．
其中正确的命题是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②③
【解析】
根据题意，$$f(x)=c^x\left[\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1\right],$$令 $g(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1$，则 $g(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的单调递减函数，且 $g(1)=\dfrac{a+b-c}c>0$．
对于命题 ①，由 $x<1$ 可得 $g(x)>g(1)>0$，进而有 $f(x)>0$，因此命题成立．
对于命题 ②，由于 $g(x)$ 单调递减，因此当$$x=\max\left\{{\log_{\frac ac}}\dfrac 12,{\log_{\frac bc}}\dfrac 12\right\}+1$$时，有 $g(x)<0$，此时 $f(x)<0$，$a^x+b^x<c^x$，因此 $a^x,b^x,c^x$ 不是任何一个三角形的三边长．命题成立．
对于命题 ③，由于 $g(1)>0$，而 $g(2)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{c^2}<0$，因此存在 $x\in (1,2)$，使得 $g(x)=0$，进而 $f(x)=0$．命题成立．
综上所述，命题 ①②③ 正确．
对于命题 ①，由 $x<1$ 可得 $g(x)>g(1)>0$，进而有 $f(x)>0$，因此命题成立．
对于命题 ②，由于 $g(x)$ 单调递减，因此当$$x=\max\left\{{\log_{\frac ac}}\dfrac 12,{\log_{\frac bc}}\dfrac 12\right\}+1$$时，有 $g(x)<0$，此时 $f(x)<0$，$a^x+b^x<c^x$，因此 $a^x,b^x,c^x$ 不是任何一个三角形的三边长．命题成立．
对于命题 ③，由于 $g(1)>0$，而 $g(2)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{c^2}<0$，因此存在 $x\in (1,2)$，使得 $g(x)=0$，进而 $f(x)=0$．命题成立．
综上所述，命题 ①②③ 正确．
题目
答案
解析
备注
