考虑关于 $t$ 的方程\[t^2+mt+2m+3=0\]和 $t=\left|{\log_2}x\right|$．当零点 $t_0$ 位于不同区间时，对应的 $x_0$ 的个数如下表\[\begin{array}{c|cccc}
t_0 &(-\infty,0)& 0 &(0,1)& 1&(1,+\infty)\\ \hline
x_0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1\\
\end{array}\]根据题意，必然有一个 $t_1$ 位于区间 $(0,1)$，考虑 $t_2$．
情形一 $t_2=0$，此时 $m=-\dfrac 32$，不符合题意．
情形二 $t_2=1$，此时 $m=-\dfrac 43$，符合题意．
情形三 $t_2> 1$，此时\[\begin{cases}\left.\left(t^2+mt+2m+3\right)\right|_{t=0}>0,\\ \left.\left(t^2+mt+2m+3\right)\right|_{t=1}<0,\end{cases}\]解得 $-\dfrac 32<m<-\dfrac 43$．
综上所述，$m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 32,-\dfrac 43\right]$．