函数 $f(x)=\dfrac{4x}{x+1}$（$x>0$），$g(x)=\dfrac 12\left(|x-a|-|x-b|\right)$（$a<b$），若对 $\forall x_1>0$，$\exists x_2\leqslant x_1$，$g(x_2)=f(x_1)$，则 $2a+b$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-7$
【解析】
函数 $g(x)$ 的图象是反Z字型，对称中心为 $P\left(\dfrac{b+a}2,0\right)$，斜线部分斜率为 $1$，水平部分的函数值分别为 $-\dfrac{b-a}2$ 和 $\dfrac{b-a}2$，如图．
取函数 $f(x)$ 斜率为 $1$ 的切线 $y=x+1$，如图：
根据题意，有\[\begin{cases}\dfrac{b+a}2\leqslant -1,\\ \dfrac{b-a}2\geqslant 4,\end{cases}\]因此\[2a+b=\dfrac 32(b+a)-\dfrac 12(b-a)\leqslant -7,\]当 $(a,b)=(-5,3)$ 时取得等号．因此所求的最大值为 $-7$．
取函数 $f(x)$ 斜率为 $1$ 的切线 $y=x+1$，如图：根据题意，有\[\begin{cases}\dfrac{b+a}2\leqslant -1,\\ \dfrac{b-a}2\geqslant 4,\end{cases}\]因此\[2a+b=\dfrac 32(b+a)-\dfrac 12(b-a)\leqslant -7,\]当 $(a,b)=(-5,3)$ 时取得等号．因此所求的最大值为 $-7$．
题目
答案
解析
备注
