数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=\dfrac 12$，且 $n(n+1)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}$ 对一切不小于 $2$ 的正整数 $n$ 均成立，则 $\{a_n\}$ 的通项公式为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{1}{n!},n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{n(n+1)}{a_{n-1}}+\dfrac{n}{a_{n+1}}=\dfrac{(n+1)^2}{a_n},\]即\[\dfrac{1}{a_{n-1}}+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}=\dfrac{n+1}{na_n},\]也即\[\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}},\]于是\[\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}}=\cdots=\dfrac{1}{2a_2}-\dfrac{1}{a_1}=0,\]因此\[(n+1)a_{n+1}=a_n,\]也即\[(n+1)!\cdot a_{n+1}=n!\cdot a_n,\]进而 $a_n=\dfrac{1}{n!},n\in\mathbb N^{\ast}$．
题目
答案
解析
备注
