如图，半径为 $R$ 的球 $O$ 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ．
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
$2{\mathrm{\pi }}{R^2}$
【解析】
${S_侧} = 2{\mathrm{\pi }}r \cdot 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 4{\mathrm{\pi }}\sqrt {{r^2}\left({R^2} - {r^2}\right)} $，当 ${S_侧}$ 取得最大值时，
${r^2} = {R^2} - {r^2}$，即 ${r^2} = \dfrac{{{R^2}}}{2}$，解得 $r = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}R$，则 $4{\mathrm{\pi }}{R^2} - 2{\mathrm{\pi }}{R^2} = 2{\mathrm{\pi }}{R^2}$．
${r^2} = {R^2} - {r^2}$，即 ${r^2} = \dfrac{{{R^2}}}{2}$，解得 $r = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}R$，则 $4{\mathrm{\pi }}{R^2} - 2{\mathrm{\pi }}{R^2} = 2{\mathrm{\pi }}{R^2}$．
题目
答案
解析
备注
