在平面直角坐标系中，令 $A(\cos x,4+\sin x),B(5\cos \theta,-4\sin\theta)$，则有$$|AB|^2=(\sin x+4\sin\theta+4)^2+(\cos x-5\cos \theta)^2,$$即 $f(x)=|AB|^2$，点 $A$ 在圆$$C_1:x^2+(y-4)^2=1$$上运动，点 $B$ 在椭圆$$C_2:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$$上运动，对于椭圆上任一点 $B$，$g(\theta)$ 为 $B$ 到圆心 $(0,4)$ 的距离减 $1$ 再平方，即$$g(\theta)=\left(\sqrt{(5\cos\theta)^2+(4\sin\theta+4)^2}-1\right)^2.$$而椭圆 $C_2$ 在圆 $x^2+(y-4)^2=64$ 内，即 $C(0,4)$ 到椭圆 $C_2$ 距离的最大值为 $8$，于是 $g(\theta)$ 的最大值为 $49$，当 $(x,\theta)=\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 时可取的最值．