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已知 $ab>1$，关于 $x$ 的不等式 $\dfrac1ax^2+bx+c<0$ 的解集为空集，则 $T=\dfrac1{2(ab-1)}+\dfrac{a(b+2c)}{ab-1}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解二次不等式
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
    >
    分式函数
【答案】
$4$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases} \dfrac1a>0,\\b^2-4\cdot\dfrac1a\cdot c\leqslant 0.\end{cases}$$即有$$4ac\geqslant \left(ab\right)^2>1.$$于是$$\begin{split} T&=\dfrac{1+2ab+4ac}{2(ab-1)}\\&\geqslant\dfrac{1+2ab+\left(ab\right)^2}{2(ab-1)}\\&=\dfrac12\left[(ab-1)+\dfrac4{ab-1}+4\right]\\&\geqslant 4,\end{split}$$等号当\[\begin{cases} ab=3,\\ ac=\dfrac 94,\\ a>0,\end{cases}\]时 取得，因此 $T$ 的最小值为 $4$．
题目 答案 解析 备注
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