设 $x,y,z,w$ 是 $4$ 个不全为零的实数，则 $\dfrac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac12(1+\sqrt2)$
【解析】
因为$$x^2+my^2+(1-m)y^2+(1-n)z^2+nz^2+w^2\geqslant 2\sqrt mxy+2\sqrt{(1-m)(1-n)}yz+2\sqrt n zw,$$其中 $m,n\in(0,1)$，令$$\sqrt m:\sqrt{(1-m)(1-n)}:\sqrt n=1:2:1,$$解得$$m=n=3-2\sqrt2,$$所以$$xy+2yz+zw\leqslant \dfrac1{2\sqrt m}(x^2+y^2+z^2+w^2).$$故所求表达式最大值为\[\dfrac1{2\sqrt m}=\dfrac{1+\sqrt2}2.\]
题目
答案
解析
备注
