在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d)$，若不等式 $\overrightarrow {CD}^2\geqslant (m-2)\overrightarrow {OC}\cdot\overrightarrow {OD}+m\left(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OA}\right)$ 对任意实数 $a,b,c,d$ 都成立，则实数 $m$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{2\sqrt5-2}$
【解析】
先对题目进行等价转化，将向量的坐标形式代入题中所给不等式并化简整理可得$$\forall a,b,c,d\in\mathbb R,a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant m(ac+bc+bd),$$情形一 若 $ac+bc+bd\leqslant 0$，此时不等式成立．
情形二 若 $ac+bc+bd> 0$，则因为$$\begin{split} a^2+b^2+c^2+d^2&\geqslant a^2+xc^2+yb^2+(1-x)c^2+(1-y)b^2+d^2\\&\geqslant 2\sqrt x\cdot ac+2\sqrt{y(1-x)}\cdot bc+2\sqrt{1-y}\cdot bd,\end{split}$$令\[\sqrt x=\sqrt{y(1-x)}=\sqrt{1-y},\]解得\[(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt5-1}2,\dfrac{3-\sqrt5}2\right),\]此时有$$a^2+b^2+c^2+d^2\geqslant \sqrt{2\sqrt 5-2}\cdot (ac+bc+bd).$$综上所述 $m$ 最大值为 $\sqrt{2\sqrt5-2}$．
题目
答案
解析
备注
