在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为三内角 $A,B,C$ 所对的边，$BC$ 上的高为 $\dfrac{\sqrt3}6a$，$BC=a$，求 $\dfrac cb+\dfrac{2b}c$ 的取值范围 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[2\sqrt2,31+4\sqrt3\right]$
【解析】
将 $B,C$ 置于为平面直角坐标系内 $x$ 轴上，在 $\triangle ABC$ 中，设边 $BC$ 上的高为 $AH$，且 $H$ 为垂足，则 $H$ 也位于 $x$ 轴上，记 点 $C$ 与点 $H$ 的横坐标差为 $x$，则$$t=\dfrac cb=\dfrac{(a-x)^2+\dfrac1{12}a^2}{x^2+\dfrac1{12}a^2}=\dfrac{1-\dfrac {2x}a}{\left(\dfrac xa\right)^2+\dfrac1{12}},x\in\mathbb R$$的取值范围为 $[7-4\sqrt3,7+4\sqrt3]$，于是所求表达式即$$f(t)=t+\dfrac2t,7-4\sqrt3\leqslant t\leqslant 7+\sqrt3.$$进而可得所求表达式的取值范围为 $\left[2\sqrt2,31+4\sqrt3\right]$．
题目
答案
解析
备注
