实数 $x,y$ 满足 $2^{2x+y}+2^{x+2y}=4^x+4^y$，则 $\dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意设 $a=2^x$，$b=2^y$，则$$a^2b+ab^2=a^2+b^2,$$于是$$\begin{split} \dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}&=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\\
&=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\cdot \left(\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}\right)^2\\
&=\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}\\
&\leqslant 2,\end{split}$$等号当 $a=b$ 时取得，因此所求表达式最大值为 $2$．
&=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\cdot \left(\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}\right)^2\\
&=\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}\\
&\leqslant 2,\end{split}$$等号当 $a=b$ 时取得，因此所求表达式最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
