若正实数 $a,b$ 满足 $a+2b=2$，则 $\dfrac1{a^2}+\dfrac a{2b^2}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac54+\sqrt2$
【解析】
根据题意有\[\begin{split}\dfrac1{a^2}+\dfrac a{2b^2}&=\dfrac{(a+2b)^2}{4a^2}+\dfrac{a(a+2b)}{4b^2}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{4b^2}+\dfrac ba+\dfrac{a}{2b}+\dfrac 14\\
&=\left(\dfrac{b}a+\dfrac a{2b}+\dfrac 12\right)^2-1\\
&\geqslant \left(\sqrt 2+\dfrac 12\right)^2-1\\
&=\dfrac54+\sqrt2,\end{split}\]等号当 $a=\sqrt 2b$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac 54+\sqrt 2$．
&=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{4b^2}+\dfrac ba+\dfrac{a}{2b}+\dfrac 14\\
&=\left(\dfrac{b}a+\dfrac a{2b}+\dfrac 12\right)^2-1\\
&\geqslant \left(\sqrt 2+\dfrac 12\right)^2-1\\
&=\dfrac54+\sqrt2,\end{split}\]等号当 $a=\sqrt 2b$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac 54+\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
