若 $a,b,c$ 均为正实数，则 $\dfrac c{a+b}+\dfrac a{b+2c}+\dfrac b{a+2c}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt2-\dfrac14$
【解析】
记题中代数式为 $m$，根据题意设$$\begin{cases} x=a+b,\\
y=b+2c,\\
z=a+2c.\end{cases}$$则$$\begin{cases} a=\dfrac12(x-y+z),
\\b=\dfrac12(x-z+y),
\\c=\dfrac14(y+z-x).\end{cases}$$则有$$m=\left(\dfrac y{4x}+\dfrac x{2y}\right)+\left(\dfrac z{4x}+\dfrac x{2z}\right)+\left(\dfrac z{2y}+\dfrac y{2z}\right)-\dfrac54\geqslant\sqrt2-\dfrac14,$$等号当 $y=z=\sqrt2x$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $\sqrt2-\dfrac14$．
y=b+2c,\\
z=a+2c.\end{cases}$$则$$\begin{cases} a=\dfrac12(x-y+z),
\\b=\dfrac12(x-z+y),
\\c=\dfrac14(y+z-x).\end{cases}$$则有$$m=\left(\dfrac y{4x}+\dfrac x{2y}\right)+\left(\dfrac z{4x}+\dfrac x{2z}\right)+\left(\dfrac z{2y}+\dfrac y{2z}\right)-\dfrac54\geqslant\sqrt2-\dfrac14,$$等号当 $y=z=\sqrt2x$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $\sqrt2-\dfrac14$．
题目
答案
解析
备注
