已知正实数 $a,b$ 满足 $2a+b=1$，则 $4a^2+b^2+4\sqrt{ab}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt2+\dfrac12$
【解析】
记题中代数式为 $m$，则\[\begin{split} m&=\dfrac{4a^2+b^2}{(2a+b)^2}+\dfrac{4\sqrt{ab}}{2a+b}\\
&=1-\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2a+b}\right)^2+\dfrac{4\sqrt{ab}}{2a+b}\\
&=2-\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2a+b}-1\right)^2\\
&=2-\left(\dfrac{2}{2\cdot \sqrt{\dfrac ab}+\sqrt{\dfrac ba}}-1\right)^2\\
&\leqslant 2-\left(\dfrac{2}{2\sqrt 2}-1\right)^2\\
&=\sqrt 2+\dfrac 12,\end{split}\]等号当 $2a=b$ 时取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2+\dfrac 12$．
&=1-\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2a+b}\right)^2+\dfrac{4\sqrt{ab}}{2a+b}\\
&=2-\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2a+b}-1\right)^2\\
&=2-\left(\dfrac{2}{2\cdot \sqrt{\dfrac ab}+\sqrt{\dfrac ba}}-1\right)^2\\
&\leqslant 2-\left(\dfrac{2}{2\sqrt 2}-1\right)^2\\
&=\sqrt 2+\dfrac 12,\end{split}\]等号当 $2a=b$ 时取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2+\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
