已知 $x,y \in [0,+\infty)$ 且满足 $x^{3} +y^3 +3xy = 1$，则 $x^{2}y$ 的最大值为
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{4}{27}$
【解析】
由于\[x^3+y^3+(-1)^3-3\cdot x\cdot y\cdot (-1)=(x+y-1)\left(x^2+y^2+1-xy+x+y\right),\]于是\[x+y-1=0,\]进而\[x^2y=4\cdot\dfrac x2\cdot \dfrac x2\cdot y\leqslant 4\left(\dfrac{\dfrac x2+\dfrac x2+y}3\right)^3=\dfrac{4}{27},\]等号当 $x=2y$ 时取得，因此所求的最大值为 $\dfrac{4}{27}$．
题目
答案
解析
备注
