记$$\begin{cases} A(x_1,y_1)=\left(u,\sqrt{2u-u^2}\right),\\
B(x_2,y_2)=\left(\dfrac{24}v,1+v\right).\end{cases}$$则 点 $A(x_1,y_1)$ 是半圆$$(x-1)^2+y^2=1,y\geqslant 0$$上的一动点，记该半圆圆心为 $E(1,0)$，而点 $B(x_2,y_2)$ 是双曲线$$y=1+\dfrac{24}x$$上一动点．因此原表达式的几何意义即 $AB$ 长度的平方，所以只需考虑求出 $EB$ 的最小值即可．而$$EB=\sqrt{(v-1)^2+\left(1+\dfrac{24}v-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{24}v-v+1\right)^2+49}\geqslant 7,$$等号当 $v=\dfrac{1+\sqrt{97}}{2}$ 时取得，因此 $EB$ 的最小值为 $7$，进而原代数式的最小值为 $36$．