若正数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}b=\dfrac{a+b}c+1$，则 $\dfrac{a+b}c$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$
【解析】
记 $x=\dfrac ac$，$y=\dfrac bc$，则题目变为：
已知正数 $x,y$ 满足\[\dfrac xy+\dfrac yx+\dfrac 1x+\dfrac 1y=x+y+1,\]求 $x+y$ 的最小值．
由于\[x+y+1=\dfrac xy+\dfrac yx+\dfrac 1x+\dfrac 1y\geqslant 2+\dfrac{4}{x+y},\]等号当 $x=y$ 时取得．因此解得\[x+y\geqslant \dfrac{1+\sqrt{17}}2,\]等号当\[x=y=\dfrac{1+\sqrt{17}}4\]时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac{1+\sqrt{17}}2$．
已知正数 $x,y$ 满足\[\dfrac xy+\dfrac yx+\dfrac 1x+\dfrac 1y=x+y+1,\]求 $x+y$ 的最小值．
由于\[x+y+1=\dfrac xy+\dfrac yx+\dfrac 1x+\dfrac 1y\geqslant 2+\dfrac{4}{x+y},\]等号当 $x=y$ 时取得．因此解得\[x+y\geqslant \dfrac{1+\sqrt{17}}2,\]等号当\[x=y=\dfrac{1+\sqrt{17}}4\]时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac{1+\sqrt{17}}2$．
题目
答案
解析
备注
