已知 $x,y$ 是正实数，且 $m=\mathrm{min}\left\{x,\dfrac1y,\dfrac1x+y\right\}$，则 $m$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt2$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases} x\geqslant m,\\ \dfrac1y\geqslant m,\\\dfrac1x+y\geqslant m. \end{cases}$$所以$$\begin{cases} \dfrac1m\geqslant\dfrac1x,\\\dfrac1m\geqslant y.\end{cases}$$于是有$$\dfrac2m\geqslant\dfrac1x+y\geqslant m,$$解得 $m\leqslant\sqrt2$，等号当 $(x,y)=\left(\dfrac{\sqrt2}2,\sqrt2\right)$ 时取得，因此 $m$ 的最大值是 $\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
