若 $a,b,c$ 均为正实数，且记 $m=\mathrm{min}\left\{\dfrac1a,\dfrac1{b^2},\dfrac1{c^3},a+b^2+c^3\right\}$，则 $m$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt3$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} m&\leqslant \dfrac 1a,\\ m&\leqslant \dfrac{1}{b^2},\\
m&\leqslant \dfrac{1}{c^3},\\
m&\leqslant a+b^2+c^3,\end{split}\]于是\[m\leqslant a+b^2+c^3\leqslant\dfrac 1m+\dfrac 1m+\dfrac 1m,\]解得 $m\leqslant \sqrt 3$，等号当 $a=b^2+c^3=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\sqrt 3$．
m&\leqslant \dfrac{1}{c^3},\\
m&\leqslant a+b^2+c^3,\end{split}\]于是\[m\leqslant a+b^2+c^3\leqslant\dfrac 1m+\dfrac 1m+\dfrac 1m,\]解得 $m\leqslant \sqrt 3$，等号当 $a=b^2+c^3=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
