已知正实数 $a,b$ 满足 $\dfrac1a+\dfrac2b=1$，则 $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
根据题意可设$$(a,b)=\left(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta\right),\rho>0,0<\theta<\dfrac{\pi}2,$$则$$\rho=\dfrac1{\cos\theta}+\dfrac2{\sin\theta},$$$$\begin{split} a+b+\sqrt{a^2+b^2}&=\rho(\cos\theta+\sin\theta+1)\\
&=\left(\dfrac1{\cos\theta}+\dfrac2{\sin\theta}\right)(\cos\theta+\sin\theta+1)\\
&=3+\dfrac{\sin\theta+1}{\cos\theta}+\dfrac{2\left(\cos\theta+1\right)}{\sin\theta}\\
&=2+2\left(\dfrac1{1-\tan\dfrac{\theta}2}+\dfrac1{\tan\dfrac{\theta}2}\right)\\
&\geqslant 10.\end{split}$$当 $\tan\dfrac{\theta}2=\dfrac12$ 时，原表达式取得最小值 $10$．
&=\left(\dfrac1{\cos\theta}+\dfrac2{\sin\theta}\right)(\cos\theta+\sin\theta+1)\\
&=3+\dfrac{\sin\theta+1}{\cos\theta}+\dfrac{2\left(\cos\theta+1\right)}{\sin\theta}\\
&=2+2\left(\dfrac1{1-\tan\dfrac{\theta}2}+\dfrac1{\tan\dfrac{\theta}2}\right)\\
&\geqslant 10.\end{split}$$当 $\tan\dfrac{\theta}2=\dfrac12$ 时，原表达式取得最小值 $10$．
题目
答案
解析
备注
