已知正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，则 $\dfrac{2a}{a^2+b}+\dfrac b{a+b^2}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt3}{3}+1$
【解析】
记题中代数式为 $m$，化齐次，可得\[m=\dfrac{2a(a+b)}{a^2+b(a+b)}+\dfrac{b(a+b)}{a(a+b)+b^2}=\dfrac{2a^2+b^2+3ab}{a^2+b^2+ab},\]令 $t=\dfrac ab$，则\[m=\dfrac{2t^2+3t+1}{t^2+t+1}=2+\dfrac{t-1}{t^2+t+1}=\begin{cases} 2,&t=1,\\ 2+\dfrac{1}{t-1+\dfrac{3}{t-1}+3},&t\ne 0,\end{cases}\]于是所求代数式的最大值为\[2+\dfrac 1{2\sqrt 3+3}=\dfrac{2\sqrt 3}3+1,\]当 $a=b\left(1+\sqrt 3\right)$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
