题目 若 $f\left( x \right) = \ln \left({{{\mathrm{e}}^{3x}}+ 1}\right) + ax$ 是偶函数，则 $a =$ <nn> </nn>． 答案 $-\dfrac 32$ 解析 注意到$$f(x)=\ln\left({\rm e} ^{3x+ax}+{\rm e} ^{ax}\right)=\ln \left[{\rm e}^{(3+a)x}+{\rm e}^{ax}\right],$$因此由 $3+a=-a$，解得 $a=-\dfrac 32$． 备注 函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\mathbb R$，所以由 $f\left(x\right)$ 是偶函数可得\[f\left(-1\right)=f\left(1\right).\]也即\[\ln\left({\mathrm{e}}^{-3}+1\right)-a=\ln\left({\mathrm{e}}^3+1\right)+a.\]结合对数的运算解得\[a=-\dfrac 32.\]