已知点 $F$ 是抛物线 $C:y^2=2px,p>0$ 的焦点，直线 $l$ 是 $C$ 的准线，点 $A,B$ 在 $C$ 上，且线段 $AB$ 过点 $F$，在下列几个说法中：
① 以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切；② 以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相交；
③ 以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相离；④ 以 $AB$ 为直径的圆与 $y$ 轴相交；
⑤ 以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相切；⑥ 以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相离．
其中正确的有 ．
① 以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切；② 以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相交；
③ 以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相离；④ 以 $AB$ 为直径的圆与 $y$ 轴相交；
⑤ 以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相切；⑥ 以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相离．
其中正确的有
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①④⑤
【解析】
设点 $A,B$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，线段 $AF$ 中点与弦 $AB$ 的中点分别记为 $N,M$，且点 $N,M$ 的横坐标坐标分别设为 $n,m$，则由抛物线定义可知$$AF=x_1+\dfrac p2,$$由中点坐标公式可得 $N$ 点横坐标$$n=\dfrac12\left(x_1+\dfrac p2\right),$$于是 $AF=\dfrac 12 n,$ 即以 $AF$ 为直径的圆的圆心 $N$ 到 $y$ 轴的距离等于该圆半径，因此以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切，所以选项 ① 正确，选项 ②③ 错误．
根据抛物线定义有$$AB=x_1+x_2+p,$$又由中点坐标公式可得 $M$ 点横坐标$$m=\dfrac12(x_1+x_2),$$因此 $M$ 点到 $l$ 距离为 $m+\dfrac p2=\dfrac12 AB,$ 即以 $AB$ 为直径的圆的圆心 $M$ 到 $l$ 距离等于该圆半径，因此以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相切，所以选项 ④⑤ 正确，选项 ⑥ 错误．
综上，正确答案为 ①④⑤．
根据抛物线定义有$$AB=x_1+x_2+p,$$又由中点坐标公式可得 $M$ 点横坐标$$m=\dfrac12(x_1+x_2),$$因此 $M$ 点到 $l$ 距离为 $m+\dfrac p2=\dfrac12 AB,$ 即以 $AB$ 为直径的圆的圆心 $M$ 到 $l$ 距离等于该圆半径，因此以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相切，所以选项 ④⑤ 正确，选项 ⑥ 错误．
综上，正确答案为 ①④⑤．
题目
答案
解析
备注
