设函数$$F(t)=f(2t-1)-2f(t)+3,$$则$$F(t)=2(t-1)^2+a\left[{\ln}(2t-1)-2{\ln}t\right],$$其导函数$$F'(t)=\dfrac{2(t-1)}{t(2t-1)}\cdot(4t^2-2t-a),$$记$$g(t)=4t^2-2t-a,$$易知函数 $g(t)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，且值域为 $\left[2-a,+\infty\right)$．以下以 $a=2$ 为分界点进行讨论．
情形一当 $2-a\geqslant 0$，即 $a\leqslant 2$ 时，$F(t)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，进而在区间 $[1,+\infty)$ 上有$$F(t)\geqslant F(1)=0,$$符合题意．
情形二当 $2-a<0$，即 $a>2$ 时．令\[t_0=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}4,\]则在区间 $\left(1,t_0\right)$ 上，有 $g(t)<0$，从而在该区间上 $F(t)$ 单调递减，因此在 $\left(1,t_0\right)$ 上，有\[F(t)<F(1)=0,\]不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．