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设 $a,b \in {\mathbb{R}}$，$b \ne 0$，$\alpha ,\beta ,\gamma $ 是三次方程 ${x^3} + ax + b = 0$ 的 $3$ 个根，则总以 $\dfrac{1}{\alpha } + \dfrac{1}{\beta }$、$\dfrac{1}{\beta } + \dfrac{1}{\gamma }$、$\dfrac{1}{\gamma } + \dfrac{1}{\alpha }$ 为根的三次方程是 \((\qquad)\)
A: ${a^2}{x^3} + 2ab{x^2} + {b^2}x - a = 0$
B: ${b^2}{x^3} + 2ab{x^2} + {a^2}x - b = 0$
C: ${a^2}{x^3} + 2a{b^2}{x^2} + bx - a = 0$
D: ${b^2}{x^3} + 2{a^2}b{x^2} + ax - b = 0$
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    多项式
    >
    多项式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
    >
    三次方程的韦达定理
【答案】
B
【解析】
因为 $\alpha + \beta + \gamma = 0$，$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = a$，$\alpha \beta \gamma = - b$，所以$$ \left( {\dfrac{1}{\alpha } + \dfrac{1}{\beta }} \right) + \left( {\dfrac{1}{\beta } + \dfrac{1}{\gamma }} \right) + \left( {\dfrac{1}{\gamma } + \dfrac{1}{\alpha }} \right) = \dfrac{{2\left( {\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha } \right)}}{{\alpha \beta \gamma }} = - \dfrac{{2a}}{b}.$$
题目 答案 解析 备注
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