已知 $a,b\in \mathbb R$，$f(a+b)=f(a)f(b)$，且 $f(1)=2$，则 $\dfrac{f(2)}{f(1)}+\dfrac{f(5)}{f(3)}+\dfrac{f(9)}{f(6)}+\dfrac{f(14)}{f(10)}+\cdots+\dfrac{f(2015)}{f(1953)}=$ ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$2^{63}-2$
【解析】
由 $f(a+b)=f(a)f(b)$，$f(1)=2$ 得$$f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),$$所以数列 $\{f(n)\}$ 是首项为 $2$ 公比为 $2$ 的等比数列．设$$M=\dfrac{f(2)}{f(1)}+\dfrac{f(5)}{f(3)}+\dfrac{f(9)}{f(6)}+\cdots +\dfrac{2015}{1953},$$则$$M=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{62}=2^{63}-2.$$
题目
答案
解析
备注
