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已知 $f(x)$ 是 $(-\infty,0]$ 上的单调减函数，$g(x)=-f(-1-|x|)$，则不等式 $g(\lg x+1)<g(-1)$ 的解集是 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解函数不等式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
$\left(0,\dfrac 1{100}\right)\cup(1,+\infty)$
【解析】
易知 $g(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的偶函数，当 $x\leqslant 0$ 时，$$g(x)=-f(x-1),$$因为 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递减，所以 $g(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递增，在 $[0,+\infty)$ 单调递减，因此不等式$$g\left(\lg x+1\right)<g(-1)$$等价于$$|\lg x+1|>|-1|,$$解得$$\left(0<x<\dfrac 1{100}\right)\lor(x>1),$$即原不等式的解集为 $\left(0,\dfrac 1{100}\right)\cup(1,+\infty)$．
题目 答案 解析 备注
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